Los enfoques probabil\'isticos en el area de segmentaci\'on de im\'agenes han
sido utilizados ya con anterioridad en diferentes estudios como es el modelo de
Ising (Ising, 1925), Geman and Geman (1984), Besag(1986) e incluso el de
Mumford-Shah (1989). El funcional presentado en este trabajo extiende el estudio
realizado por Leclerc (1989), Zhu y Yuille (1996), Paragios y Deriche (2002) y
Tsai et al. (2001).\\
Siguiendo con Paragios y Deriche (2002), una partici\'on
\'optima $P(\Omega)$ del plano $\Omega$ de la imagen puede computarse
maximizando la probabilidad a posteriori $p(P(\Omega) | I)$ para una
determinada imagen $I$. La regla de Bayes permite expresar el condicional de la
siguiente manera

\begin{equation} \label{eq:bayes}
p(P(\Omega) | I)  \alpha  p(I | P(\Omega)) p(P(\Omega))
\end{equation}

Con esta expresi\'on logramos separar, de manera similar a
\mathref{eq:funcional}, las caracteristicas que buscamos observar. El primer
t\'ermino nos permite medir la coherencia de la segmentaci\'on con respecto
a la imagen, mientras que en el segundo t\'ermino analizamos las
caracter\'isticas propias de la segmentaci\'on. La aplicaci\'on de la regla de
Bayes se ha vuelto muy popular a la hora de trabajar con problemas de visi\'on
en computaci\'on, ya que en la mayor\'ia de los casos, la probabilidad
condicional $p(I | P(\Omega))$ resulta m\'as f\'acil de modelar que la
distribuci\'on a \it{posteriori}.

 
\begin{comment}

 thereby separating image-based cues (first term) from geometric properties of the
partition (second term). The Bayesian framework has become increasingly popular
to tackle many ill-posed problems in computer vision.º Firstly the conditional
probability p(I |P(om)) of an 


La utilizaci\'on de funciones probabil\'isticas en
modelos de segmentaci\'on de im\'agenes, tanto en los espacialmente discretos
como en los continuos, resulta ser una elecci\'on aplicada con anterioridad en
varios estudios a partir del cual realizamos nuestro desarrollo .

 Siguiendo con el modelo de
Mumford-Shah veremos que minimizar el funcional de energ\'ia en t\'erminos de
integrales o sumatorias resulta equivalente a minimizar un funcional basado en
probabilidades.
\end{comment}

\chapter{{\color{red}El Sistema Probabil\'istico}}

\section{{\color{red} Presentaci\'on}}

Este sistema lo basaremos en la interpretaci\'on probabil\'istica del modelo.
Partiendo de la siguiente equivalencia \cite{Petitot2003}:

\begin{equation} \label{eq:energia}
E(u,K) = -\log{p(u,K)}
\end{equation}

El objetivo es desarrollar esta f\'ormula para analizar sus propiedades.
Recordamos como expresamos a $I$:

\begin{displaymath}
I:W \rightarrow R
\end{displaymath}

De ahora en mas hablaremos de segmentaci\'on como una partici\'on cierto plano.
De modo buscaremos llegar a una expresi\'on del funcional (\ref{eq:energia}) en
funci\'on de una partici\'on. Definimos $P(W)$ como la \'optima partici\'on del
plano $W$ que se obtiene al maximizar la probabilidad $p(P(W)|I)$. Recordando
como se define la probabilidad condicional:

\begin{displaymath}
p(B|A) = \frac{p(A|B)p(B)}{p(A)}
\end{displaymath}

En nuestro caso seria:

\begin{displaymath}
p(P(W)|I) = \frac{p(I|P(W))p(P(W))}{p(I)}
\end{displaymath}

Pero dado que $I$ es la imagen a segmentar resulta que $p(I) = 1$ entonces:

\begin{equation} \label{eq:condicional}
p(P(W)|I) = p(I|P(W))p(P(W))
\end{equation}

A partir de de esta expresi\'on podemos ver como como se expresaria el nuevo funcional de energ\'ia:

\begin{equation}
E(u,K) = -\log{P(W)}
\end{equation}

Donde vemos que remplazamos $(u,K)$ por $P(W)$ dado que representan lo mismo
\cite{Cremers2006}. Ahora desarrollamos esta expresi\'on. Dada la propiedad vista
en (\ref{eq:condicional}):

\begin{eqnarray}
E(P(W)) & = & -\log{(p(I|P(W))p(P(W)))} \nonumber\\
             & = & -\log{p(I|P(W))} - log{p(P(W))} \nonumber
\end{eqnarray}

Ahora calcuremos a $p(P(W))$ como:

\begin{equation} \label{eq:probabilidadsegmentacion}
p(P(W)) = e^{-\mu |K|}
\end{equation}

En la secci\'on \ref{sec:segmentacion} volveremos sobre esta expresi\'on y sobre
sus propiedades. Ahora utilizando esta expresi\'on nuestro funcional resulta:

\begin{eqnarray}
E(P(W)) & = & -\log{p(I|P(W))} - \log{e^{-\mu |K|}} \nonumber\\
			 & = & -\log{p(I|P(W))} + \mu |K| \nonumber
\end{eqnarray}

Ahora si calculamos $p(I|P(W))$ de la siguiente manera:

\begin{equation} \label{eq:probXRegion}
p(I|P(W)) = p(I|\{W_1, \ldots, W_N\}) = \prod_{i=1}^N p(I|W_i)
\end{equation}

Seguimos desarrollando el funcional de energ\'ia:

\begin{eqnarray}
E(P(W)) & = & -\log{\prod_{i=1}^N p(I|W_i)} - \log{e^{-\mu |K|}} \nonumber\\
			 & = & - \sum_{i=1}^N \log{p(I|W_i)} + \mu |K| \nonumber
\end{eqnarray}

En esta primer introducci\'on logramos expresar el c\'alculo de energ\'ia en
funci\'on de las probabilidades condicionales de $I$ con respecto a las
diferentes regiones $W_k$ y en funci\'on de la longitud de los bordes de estas
regiones. Para seguir avanzando sobre esta expresi\'on introduciremos un analisis
sobre las propiedades de las probabilidades condicionales de $I$ (ver
(\ref{eq:probXRegion})).
 
\section{{\color{red}An\'alisis de la probabilidad condicional de $I$}}
\label{sec:segmentacion}

En nuestro modelo, $p(I|W_i)$ es interpretado como la probabilidad de observar a
$I$ cuando $W_i$ es la regi\'on de interes. Cuando hablamos de observar hacemos
referencia a un conjunto de valores obtenidos por una funci\'on $f(x)$ sobre los
$x$ de la imagen $I$. Esta $f(x)$ puede ser tanto un valor escalar como un vector
con diferentes aspectos de las imagen. Lo que representa esta $f(x)$ es un
conjunto de caracter\'isticas de la imagen en la regi\'on. Luego teniendo
conocimiento de que distribuci\'on posee cada regi\'on de interes, podemos
definir $p_i$ como la funci\'on de probabilidad de densidad de $f(x)$ en $W_i$.
Que en otras palabras es la probabilidad de que encontremos ciertas
caracter\'isticas en $W_i$. De esta interpretaci\'on resulta la siguiente
igualdad:

\begin{equation} \label{eq:feature}
p(I|W_i) = \prod_{x \in W_i} p_i(f(x))^{{\color{red}dx}}
\end{equation}

A partir de la ecuaci\'on (\ref{eq:feature}) podemos desarrollar la expresi\'on del c\'alculo de energ\'ia.


\begin{eqnarray}
E(P(W)) & = & - \sum_{i=1}^N \log{(\prod_{x \in W_i} p_i(f(x))^{dx})} + \mu |K| \nonumber\\
			 & = & - \sum_{i=1}^N \int_{W_i} \log{p_i(f(x))} dx + \mu |K| \nonumber
\end{eqnarray}

Ahora expresamos a la particion en terminos de las regiones, sea $ W = \{ W_1,
\ldots, W_N \}$ observamos que:

\begin{eqnarray}
E(\{ W_1, \ldots, W_N\}) & = & - \sum_{i=1}^N \int_{W_i} \log{p_i(f(x))} dx + \mu |K| \nonumber
\end{eqnarray}

Ahora si expresamos a $p_i$ mediante sus estimadores $\theta_i$ obtenemos la siguiente igualdad:

\begin{eqnarray}
E(\{W_i, \theta_i\}_{i=1..N}) & = & - \sum_{i=1}^N \int_{W_i} \log{p(f(x)| \theta_i)} dx + \mu |K| \nonumber
\end{eqnarray}

\section{{\color{red}Distribuci\'on de las probabilidades}}

En este secci\'on analizaremos las distribuciones sobre las que trabajaremos, a
partir de las propiedades observadas en nuestros modelos de prueba. Nuestro
objetivo es poder segmentar im\'agenes MRI en distintas regiones, y para poder
utilizar una aproximaci\'on al modelo probabil\'istico necesitamos observar como
se comportan las im\'agenes que queremos segmentar. Mas precisamente como se
comportan las distintas regiones. Tomando muestras significativas de cada una de
las regiones pertenecientes a las im\'agenes utilizadas como input analizaremos
cuan conveniente o eficaz resultan ciertas distribuciones para aproximar estos
valores. Lo que queremos observar es, en primera medida, si la distribuci\'on
normal ( cada una con su $\mu$ y $\sigma$) se puede utilizar para aproximar a
todas las regiones. Para cuantificar la proximidad de los datos a una
distribuci\'on normal utilizaremos los conceptos de asimetr\'ia y curtosis. La
asimetr\'ia se obtiene mediante:

% ESTO NO ANDA??? POR? tiene que andar!	
%\begin{displaymath}
%\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i - \mu)^3)}{\lamda^3}}
%\end{displaymath}
	
Y la curtosis la calcularemos utilizando:

%\begin{displaymath}
%\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i - \mu)^4)}{\lamda^4 n}}
%\end{displaymath}

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